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Archive for the ‘Matemática’ Category

Las paradojas de Bertrand Russell

mayo 22, 2011 1 comentario

Bertrand Russell  vivió noventa y siete años: desde 1872 hasta 1970. Nació  en  Inglaterra como  miembro de una familia muy rica liga con  la realeza  británica.  Vivió una  vida llena de matices, abogó  en  contra de  la guerra, peleó contra la religión (cualquier manifestación de ella),  estuvo preso en varias oportunidades,  se casó cuatro veces (la última a los 80 años) y tuvo múltiples experiencias sexuales de las que siempre se manifestó orgulloso. Si bien fue  uno de los grandes pensadores y matemáticos del siglo XX, ganó el Premio Nobel de Literatura en 1950. Fue profesor  en  Harvard, en Cambridge y en Berkeley.

En fin, un sujeto muy especial. Sin ninguna duda, uno de los capítulos más interesantes tiene que ver  con su célebre  paradoja de los conjuntos que no  se contienen a sí mismos como elementos.

  • Sobre los barberos  en alta mar

Un barco sale lleno de marineros y se dirige a una misión que lo tendrá muchos días en alta mar. El  capitán advierte con disgusto  que algunos de los  integrantes de la tripulación no se afeitan todos los días. Y como en el barco había un marinero barbero, lo convoca a su camarote y le da la siguiente instrucción: “Desde mañana,  a toda persona del barco que no se afeite por sí misma, lo afeita usted. Con  los que quieren  afeitarse solos no hay problemas. Usted ocúpese de los que no lo hacen. Es una orden”.

El barbero se retiró y a la mañana siguiente, ni bien  se despertó  (aún en su camarote), se dispuso a cumplir la orden del capitán. Pero antes, naturalmente,  fue hasta el  baño. Cuando se disponía a afeitarse, se dio  cuenta de que no podía hacerlo, porque el capitán había sido muy claro: él sólo podía afeitar a los que no se afeitaban a sí mismos. O sea,  que  en  tanto que barbero no podía intervenir en  afeitarse. Debía  dejarse  la barba para  no infringir la norma de sólo afeitar a los que no se afeitan a sí mismos. Pero al mismo tiempo, advirtió que no podía dejarse crecer la barba porque incumpliría  también la orden del capitán, que le dijo que no permitiera que ningún integrante de la tripulación no se afeitara. Él, entonces, tenía  que afeitarse

Desesperado  porque ni podía afeitarse (porque el capitán le dijo que sólo se ocupara de los que no se afeitaban a sí mismos) ni podía dejarse la barba (ya que el capitán no lo hubiera tolerado), el barbero decidió tirarse por la borda (o pedirle a alguien que lo afeitase a él…).

  • Sobre  quién debía morir ahorcado

En una ciudad en donde las cosas erradas se pagaban caras, el rey dictaminó que una persona debí ser ejecutada. Y para ello, decidió ahorcarlo. Para darle un poco más de sabor, colocaron en dos plataformas dos horcas. A una la llamaron “el altar de la verdad” y a la otra, “el  altar de la mentira”.

Cuando estuvieron frente al reo, le explicaron las reglas:

-Tendrás oportunidad de decir tus últimas palabras, como es de estilo. De acuerdo con que lo que digas sea verdad o mentira, serás ejecutado en este altar (señalando el de la verdad) o el otro. Es tu decisión.

El preso pensó un rato y dijo que estaba listo para pronunciar sus últimas palabras. Se hizo silencio y todos se prepararon para escucharlo. Y dijo:

–Ustedes me van a colgar en el altar de la mentira.

– ¿Es todo? –le preguntaron.

–Sí –respondió.

Los verdugos se acercaron a esta persona y se dispusieron a llevarla al altar de la mentira. Cuando lo tuvieron al lado, uno de ellos dijo:

–Un momento, por favor. No podemos colgarlo aquí, porque si lo hiciéramos sus últimas palabras habrían sido ciertas. Y para cumplir con las reglas, nosotros le dijimos que lo colgaríamos de acuerdo con la validez de sus últimas palabras. Él dijo que lo colgaríamos en el altar de la mentira. Luego, allí no podemos colgarlo porque sus palabras serían ciertas.

Otro de los que participaba arriesgó:

–Claro. Corresponde que lo colguemos en el altar de la verdad.

–Falso –gritó uno de atrás–. Si fuera así, lo estaríamos premiando ya que sus últimas palabras fueron mentira. No lo podemos colgar en el altar de la verdad.

Ciertamente confundidos, todos los que pensaban ejecutar al preso se trenzaron en una discusión eterna. El reo escapó y hoy escribe libros de lógica.

  • Dios no existe

Pongámonos primero de acuerdo con lo que quiere decir Dios. Por definición, la existencia de Dios está igualada con la existencia de un ser todopoderoso. En la medida en que nosotros podamos probar que nada ni nadie puede ser omnipotente, entonces,  nadie podrá adjudicarse el “ser Dios”.

Vamos a probar esto “por el absurdo”; o sea, vamos a suponer que el resultado es cierto y esto nos va a llevar a una contradicción.

Supongamos que Dios existe. Entonces, como hemos dicho, en tanto que Dios, debe ser todopoderoso. Lo que vamos a hacer es probar que no puede haber nadie todopoderoso. O lo que es lo mismo: no puede haber nadie que tenga todos los poderes.

Y hacemos así: si existiera alguien que tuviera todos los poderes, debería tener el poder de hacer piedras muy grandes. No le puede faltar este poder, porque si no, ya demostraría que no es todopoderoso. Entonces, concluiremos que tiene que tener el poder de hacer piedras muy grandes. No sólo tiene que tener el poder de hacer piedras muy grandes, sino que tiene que ser capaz de hacer piedras que él no pueda mover… no le puede faltar ese poder (ni ningún otro si vamos al caso). Luego, tiene que ser capaz de hacer piedras y que esas piedras sean muy grandes. Tan grandes que eventualmente él no las pueda mover.

Ésta es la contradicción, porque si hay piedras que él no pueda mover, esto significa que le falta un poder. Y si tales piedras no las puede hacer, eso significa que le falta ese poder. En definitiva, cualquiera que pretenda ser todopoderoso adolecerá de un problema: o bien le falta el poder de hacer piedras tan grandes que él no pueda mover, o bien existen piedras que él no puede mover. De una u otra forma, no puede haber nadie todopoderoso (y eso era lo que queríamos probar).

Ahora bien. Una vez que hemos visto estas tres manifestaciones de la paradoja de Bertrand Russell, pensemos qué hay detrás.

En principio, un problema no trivial es dar una definición correcta de lo que es un conjunto.  Si uno trata de hacerlo (y lo invito a que pruebe), termina usando algún sinónimo: una colección, un agrupamiento, un agregado, etcétera.

De todas formas, aceptemos la definición intuitiva de lo que es un conjunto, digamos, una colección de objetos que distinguimos por alguna característica: todos los números enteros, todos mis hermanos, los equipos que participaron el último Mundial de Fútbol, las pizzas grandes que  comí en mi vida, etc.

En general, los “elementos” de un conjunto son los “miembros”, los que “pertenecen”. Si uno sigue con los ejemplos del párrafo anterior, los “números enteros” son los elementos del primer conjunto, “mis hermanos” son los elementos del segundo, la lista de países que participaron en el último Mundial serían los elementos del tercer, cada una de las pizzas que comí es un elemento del cuarto, etcétera.

Uno suele denominar o llamar un conjunto con una letra mayúscula (por ejemplo: A, B,  X, N) y los elementos de cada conjunto los pone “entre llaves”:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

B = {Argentina, México, Uruguay, Brasil, Chile, Cuba, Venezuela}

C = {Laura, Lorena, Máximo, Alejandro, Paula, Ignacio, Viviana, Sabrina, Brenda, Miguel, Valentín}

N = {números naturales} = {1, 2, 3, 4, 5… 173, 174, 175…}

P = {número primos} = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31…}

M = {{Néstor y Graciela}, {Pedro y Pablo}, {Timo y Betty}}

L = {{Número Pares}, {Número Impares}}

Algunos conjuntos son finitos, como A, B, y C. Otros son infinitos, como N y P.

Algunos conjuntos tienen como elementos a otros conjuntos, como M, que tiene como miebros a “parejas”.

L, en cambio, tiene dos elementos, que son conjuntos a su vez. Es decir, los elementos de un conjunto pueden ser conjuntos también.

Una vez hechas todas las presentaciones, quiero plantear lo que se preguntó Russell: “¿Puede un conjunto tenerse a sí mismo como elemento?”.

Russell escribió: “Me parece que hay una clase de conjuntos que sí y otra clase que no”.. Y dio como ejemplo el conjunto de las cucharitas de té. Obviamente, el conjunto de todas las cucharitas de té no es una  cucharita, y por lo tanto, no se contiene a sí mismo como elemento. De la misma forma, el conjunto de todas las personas que habitan la Tierra no es una persona, y, por lo tanto, no es un elemento de sí mismo.

Aunque parezca antiintuitivo, Russell pensó también en conjuntos que sí se contienen a sí mismos como elementos. Por ejemplo: el conjunto de todas las cosas que no son cucharitas de té. Este conjunto es el que contiene cucharitas, sí, pero no de té, tenedores, pelotas, almohadas, aviones de distinto tipo, etc. Todo, menos cucharitas de té.

Lo que queda claro es que este nuevo conjunto (el que consiste en todo lo que no sea una cucharita de té) ¡no es una cucharita de té! Y por lo tanto, como no es una cucharita de té, tiene que ser un elemento de sí mismo.

Otro ejemplo que dio Russell es el siguiente: llamemos A al conjunto de todos los conjuntos que pueden describir sus miembros usando veinte palabras o menos. (En realidad, Russell lo planteó en inglés, pero para este argumento, poco importa.)

Por ejemplo, el conjunto de “todos los libros de matemática” es un elemento de A, ya que se usn sólo cinco palabras para describir sus elementos. De la misma forma, “todos los animales de la Patagonia” también es un elemento de A. Y el conjunto de “todas las sillas que hay en Europa” es otro elemento de A.

Ahora bien, los invito a pensar lo siguiente: ¿pertenece  A a sí mismo? Es decir: ¿es A un elemento de sí mismo? Para que esto sea cierto, los elementos de A deberían poder ser descritos usando veinte palabras o menos. Y justamente, hemos definido a A como el conjunto cuyos elementos son “conjuntos cuyos elementos puedan ser descritos usando veinte palabras o menos”. De esta forma, A resulta un subconjunto de sí mismo.

A partir de este momento, entonces, podemos considerar dos clases de conjuntos: los que se contienen a sí mismos como elementos y los que no.

Hasta aquí, todo bien. Pero Russell dio un paso más. Consideró:

R = el conjunto de “todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos” = {todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos} (*)

Por ejemplo, R tiene como elementos el conjunto de “todas las capitales de países sudamericanos”, el conjunto de “todos mis hermanos” , “todos los canguros de Australia”, etcétera. Y muchos más, obviamente.

Y por fin, la pregunta (del millón): “¿Es R un conjunto que se contiene a sí mismo como elemento?”. Analicemos las dos posibles respuestas:

a)      Si la respuesta es sí, entonces R se contiene a sí mismo como elemento. O sea, R es un elemento de R. Pero como se ve en (*), R no puede ser elemento de sí mismo,  porque si lo fuera, no podría ser un elemento de R. Luego, R no puede ser un elemento de sí mismo.

b)      Si la respuesta es no, o sea, R no es un elemento de sí mismo, entonces R debería pertenecer a R, ya que R está formado, justamente, por los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos.

Este problema es el que subyace en los tres ejemplos que presenté al principio de este capítulo. Es la paradoja de Bertrand Russell.

Parece imposible decidir si el conjunto cuyos elementos son los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos pertenece o no al conjunto.

Al cabo de muchos años, los científicos dedicados a la investigación en lógica se pusieron de acuerdo en establecer que cualquier conjunto que se tuviera a sí mismo como elemento no es un conjunto, y de esta forma resolvieron (en apariencia) la discusión. En realidad, el problema quedó escondido “debajo de la alfombra”.

Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí?, Edición RBA coleccionables, 2007, p 104-112

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La raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

mayo 11, 2011 1 comentario

Cuando Pitágoras y su gente (hayan existido o no) descubrieron el famoso teorema (el de Pitágoras, digo), tropezaron con un problema… Supongamos que uno tiene un triángulo rectángulo cutos dos catetos miden 1. (Aquí podríamos poner un metro o un centímetro o una unidad, para que la abstracción no sea tan grande.)

Entonces, si cada cateto mide 1, la hipotenusa tiene que medir  √2 (raíz cuadrada de dos). Este número presentó inmediatamente un problema. Para entenderlo, pongámonos de acuerdo en un punto: un número x se llama racional si resulta ser el cociente entre dos números enteros.

O sea:  x = p/q

donde p y q son números enteros, y además debe cumplirse que q ≠ 0.

Ejemplos:

a)      1,5 es un número racional, porque 1,5 = 3/2

b)      7,6666666… es racional porque 7,6666666… = 23/3

c)      5 es un número racional, porque 5 = 5/1

En particular, ese último ejemplo sugiere que todo número entero es racional. Y este resultado es cierto, ya que cualquier número entero se puede escribir como el cociente entre él mismo y 1.

Hasta ese momento, o sea, en el momento en que Pitágoras demostró su teorema, los únicos números eran los racionales. El propósito de este subcapítulo es, justamente, introducir el problema con el que tropezaron los pitagóricos.

Un paso más. Para pensar: si un número es par, ¿será verdad que su cuadrado es par?

La respuesta es sí. ¿Por qué? Porque si un número x es par, eso significa que x se puede escribir de esta forma:

x = 2 . n

donde n es un número entero también. Entonces, si elevamos x al cuadrado, se tiene:

x2 = 4 . n2 = 2 . (2 . n2)

Y esto significa que x2 es un número par también.

Ahora, al revés: ¿será verdad que si x2 es par, entonces x tiene que ser par? Veamos: si x no fuera par, entonces, sería impar. En ese caso, x se tendría que escribir así:

x = 2k + 1

donde k es cualquier número natural.

Pero entonces, al elevarlo al cuadrado, no puede ser par tampoco, ya que

x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4m + 1

en donde m = k2 + k.

Luego, si

x2 =4m + 1

entonces x2 es un número impar. La MORALEJA es que si el cuadrado de un número es par, es porque el número ya era par.

Con todos estos datos, ahora estamos en condiciones de abordar el problema que se les planteó a los pitagóricos. Será verdad que el número √2 (raíz cuadrada de dos) es racional también? Insisto: piensen que, en aquella época, los únicos números que se conocían eran los racionales. Por lo tanto, era natural que uno tratara de probar que cualquier número con el que tropezara fuera racional. Es decir: si en esa época los únicos números que se conocían eran los racionales, era razonable que trataran de encontrarle una escritura como p/q a cualquier número nuevo que apareciera.

Supongamos, entonces (como hicieron los griegos), que √2 es un número racional. Si es así, entonces, tienen que existir dos números enteros p y q, de manera tal que:

√2 = (p/q)

Al escribir (p/q), suponemos ya que hemos “simplificado” los factores comunes que puedan tener p y q. En particular, suponemos que ambos no son pares, ya que si lo fueran simplificaríamos la fracción y eliminaríamos el factor dos tanto en el numerador como en el denominador. O sea: podemos suponer que o bien p o bien q no son pares.

Luego, elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos:

2 = (p/q)2 = p2/q2

Y si ahora “pasamos multiplicando” el denominador del segundo miembro al primer miembro, se tiene:

2 . q2 = p2        (*)

Luego, la ecuación (*) dice que el número p2 es un número par (ya que se escribe como el producto de 2 por un número entero).

Como hemos visto un poco más arriba, si el número p2 es par, es porque el propio número p es un número par. Entonces, el número p, como es un número par, se puede escribir así:

p= 2k

Al elevarlo al cuadrado, se tiene:

p2 = 4k2

Reemplazando en la ecuación (*), se tiene:

2 . q2 = p2 = 4k2

Y simplificando por 2 en ambos lados:

q2 = 2k2

Por lo tanto, el número q2 es par también. Pero ya vimos que si q2 es par, es porque el número q es par. Y en ese caso, juntando lo que hemos demostrado, resultaría que tanto p como q serían pares. Y eso no es posible, porque habíamos supuesto que si fuera así, los habríamos simplificado.

MORALEJA: el número √2 no es racional. Y eso abrió un campo nuevo, inexplorado y muy fructífero: el de los números irracionales. Juntos, los racionales y los irracionales componen el conjunto de números reales. Son todos los números que necesitamos para medir en nuestra vida cotidiana. (Nota: no todos los número irracionales son tan fáciles de fabricar como √2. En realidad, si bien√2 y π son ambos números irracionales, son esencialmente bien distintos por razones que escapan al objeto de este libro. El primero, √2, pertenece al conjunto de los números algebraicos, mientras que π pertenece al de los números trascendentes.

Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí?, Edición RBA coleccionables, 2007, p. 44-48

Repitan conmigo: ¡No se puede dividir por cero!

mayo 10, 2011 1 comentario

Imaginen que entran en un negocio en donde toda la mercadería que se puede comprar cuesta 1.000 euros. Y ustedes entran justamente con esa cantidad: 1.000 euros. Si yo les preguntara: ¿Cuántos artículos pueden comprar?, creo que la respuesta es obvia: uno solo. Si en cambio en el negocio todos los objetos valieran 500 euros, entonces, con los 1.000  euros que trajeron podrían comprar, ahora, dos objetos.

Esperen. No crean que enloquecí (estaba loco de antes). Síganme en el razonamiento. Si  ahora los objetos que vende el negocio costaran sólo 1 euro cada uno, ustedes podrían comprar, con los 1.000 euros, exactamente mil artículos.

Como se aprecia, a medida que disminuye el precio, aumenta la cantidad de objetos que ustedes  pueden adquirir. Siguiendo con la misma idea, si ahora los artículos costaran 10 céntimos, ustedes podrían comprara… diez mil. Y si costaran 1 céntimo,  sus 1.000 euros alcanzarían para adquirir cien mil.

O sea, a medida que los artículos son cada vez más baratos, se pueden comprar más unidades. En todo caso el número de unidades aumenta tanto como uno quiera, siempre y cuando uno logre que los productos sean cada vez de menor valor.

Ahora bien: ¿y si los objetos fueran gratuitos? Es decir: si no costaran nada, ¿cuántos se podrían llevar? Piensen un poco.

Se dan cuenta de que si los objetos que se venden en el negocio no costaran nada, tener o no tener 1.000 euros  poco importa, porque ustedes se podrían llevar todo. Con esta idea en la cabeza es que uno podría decir que no tiene sentido “dividir” 1.000 euros entre “objetos que no cuestan nada”. En algún sentido, los estoy invitando a que concluyan conmigo que lo que no tiene sentido es dividir por cero.

Más aún: si se observa la tendencia de lo que acabamos de hacer, pongamos en una lista la cantidad de artículos que podemos comprar, en función del precio.

A medida que disminuye el precio, aumenta la cantidad de artículos que podemos comprar siempre con los 1.000 euros originales. Si siguiéramos disminuyendo el precio, la cantidad de la derecha continuaría aumentando… pero, si finalmente llegáramos a un punto en donde el valor por artículo es cero, entonces la cantidad que habría que poner en la columna de la derecha, sería… infinito. Dicho de otra manera, nos podríamos llevar todo.

MORALEJA: no se puede dividir por cero.

Repitan conmigo: ¡No se puede dividir por cero! ¡No se puede dividir por cero!

Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí?, Edición RBA coleccionables, 2007, p. 28-29.

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¿Qué es un año luz?

mayo 7, 2011 Deja un comentario

Un año luz  es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Para poner en perspectiva esto, digamos que la velocidad de la luz es de 300.000 kilómetros por segundo.  El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en kilómetros por minuto) es 18.000.000 kilómetros por minuto. Luego, nuevamente multiplicado por 60, da 1.080.000.000 de kilómetros por hora  (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicado por 24 resulta que la luz viaja 25.920.000.000 (25 mil millones) de kilómetros en un día.

Finalmente, multiplicado por 365 días, un año luz  (o sea, la distancia que la luz viaja por un año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi nueve billones y medio) de kilómetros.

De manera tal que cada vez que les pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros. Es lejos, vean.

Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí?, Edición RBA coleccionables, 2007, p. 21-22.

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