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La raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

Cuando Pitágoras y su gente (hayan existido o no) descubrieron el famoso teorema (el de Pitágoras, digo), tropezaron con un problema… Supongamos que uno tiene un triángulo rectángulo cutos dos catetos miden 1. (Aquí podríamos poner un metro o un centímetro o una unidad, para que la abstracción no sea tan grande.)

Entonces, si cada cateto mide 1, la hipotenusa tiene que medir  √2 (raíz cuadrada de dos). Este número presentó inmediatamente un problema. Para entenderlo, pongámonos de acuerdo en un punto: un número x se llama racional si resulta ser el cociente entre dos números enteros.

O sea:  x = p/q

donde p y q son números enteros, y además debe cumplirse que q ≠ 0.

Ejemplos:

a)      1,5 es un número racional, porque 1,5 = 3/2

b)      7,6666666… es racional porque 7,6666666… = 23/3

c)      5 es un número racional, porque 5 = 5/1

En particular, ese último ejemplo sugiere que todo número entero es racional. Y este resultado es cierto, ya que cualquier número entero se puede escribir como el cociente entre él mismo y 1.

Hasta ese momento, o sea, en el momento en que Pitágoras demostró su teorema, los únicos números eran los racionales. El propósito de este subcapítulo es, justamente, introducir el problema con el que tropezaron los pitagóricos.

Un paso más. Para pensar: si un número es par, ¿será verdad que su cuadrado es par?

La respuesta es sí. ¿Por qué? Porque si un número x es par, eso significa que x se puede escribir de esta forma:

x = 2 . n

donde n es un número entero también. Entonces, si elevamos x al cuadrado, se tiene:

x2 = 4 . n2 = 2 . (2 . n2)

Y esto significa que x2 es un número par también.

Ahora, al revés: ¿será verdad que si x2 es par, entonces x tiene que ser par? Veamos: si x no fuera par, entonces, sería impar. En ese caso, x se tendría que escribir así:

x = 2k + 1

donde k es cualquier número natural.

Pero entonces, al elevarlo al cuadrado, no puede ser par tampoco, ya que

x2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4m + 1

en donde m = k2 + k.

Luego, si

x2 =4m + 1

entonces x2 es un número impar. La MORALEJA es que si el cuadrado de un número es par, es porque el número ya era par.

Con todos estos datos, ahora estamos en condiciones de abordar el problema que se les planteó a los pitagóricos. Será verdad que el número √2 (raíz cuadrada de dos) es racional también? Insisto: piensen que, en aquella época, los únicos números que se conocían eran los racionales. Por lo tanto, era natural que uno tratara de probar que cualquier número con el que tropezara fuera racional. Es decir: si en esa época los únicos números que se conocían eran los racionales, era razonable que trataran de encontrarle una escritura como p/q a cualquier número nuevo que apareciera.

Supongamos, entonces (como hicieron los griegos), que √2 es un número racional. Si es así, entonces, tienen que existir dos números enteros p y q, de manera tal que:

√2 = (p/q)

Al escribir (p/q), suponemos ya que hemos “simplificado” los factores comunes que puedan tener p y q. En particular, suponemos que ambos no son pares, ya que si lo fueran simplificaríamos la fracción y eliminaríamos el factor dos tanto en el numerador como en el denominador. O sea: podemos suponer que o bien p o bien q no son pares.

Luego, elevando al cuadrado ambos miembros, tenemos:

2 = (p/q)2 = p2/q2

Y si ahora “pasamos multiplicando” el denominador del segundo miembro al primer miembro, se tiene:

2 . q2 = p2        (*)

Luego, la ecuación (*) dice que el número p2 es un número par (ya que se escribe como el producto de 2 por un número entero).

Como hemos visto un poco más arriba, si el número p2 es par, es porque el propio número p es un número par. Entonces, el número p, como es un número par, se puede escribir así:

p= 2k

Al elevarlo al cuadrado, se tiene:

p2 = 4k2

Reemplazando en la ecuación (*), se tiene:

2 . q2 = p2 = 4k2

Y simplificando por 2 en ambos lados:

q2 = 2k2

Por lo tanto, el número q2 es par también. Pero ya vimos que si q2 es par, es porque el número q es par. Y en ese caso, juntando lo que hemos demostrado, resultaría que tanto p como q serían pares. Y eso no es posible, porque habíamos supuesto que si fuera así, los habríamos simplificado.

MORALEJA: el número √2 no es racional. Y eso abrió un campo nuevo, inexplorado y muy fructífero: el de los números irracionales. Juntos, los racionales y los irracionales componen el conjunto de números reales. Son todos los números que necesitamos para medir en nuestra vida cotidiana. (Nota: no todos los número irracionales son tan fáciles de fabricar como √2. En realidad, si bien√2 y π son ambos números irracionales, son esencialmente bien distintos por razones que escapan al objeto de este libro. El primero, √2, pertenece al conjunto de los números algebraicos, mientras que π pertenece al de los números trascendentes.

Adrián Paenza, Matemática, ¿estás ahí?, Edición RBA coleccionables, 2007, p. 44-48

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  1. mayo 19, 2014 a las 9:43 AM

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